Пересечение геометрических тел проецирующими плоскостями

PDF (полная версия)

ВВЕДЕНИЕ

При изготовлении деталей происходит удаление части материала при обработке заготовок. В этом случае может возникнуть необходимость выполнить срез или вырез плоскостями геометрических тел, образующих заготовку. Для этого требуется знать построение линии пересечения поверхности плоскостью.

ОБЩИЕ ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

При решении задачи на пересечение поверхности плоскостью в первую очередь необходимо:

провести анализ формы заданного тела, то есть выявить, какие

поверхности его ограничивают;

выяснить, какие из этих поверхностей пересечены плоскостью;
определить, какие линии получаются в сечении этих поверхностей.

При пересечении многогранной поверхности плоскостью в сечении получается плоский многоугольник, вершины которого есть точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, стороны - линии пересечения граней поверхности с секущей плоскостью.

Стороны многоугольника видимы, если они лежат на видимых гранях, и невидимы, если - на невидимых.

Если при построении сечения многогранника плоскостью секущая плоскость или грани являются проецирующими, то следует использовать вырождение их соответствующих проекций в прямые.

При профильном расположении одного из ребер пирамиды необходимо, в первую очередь, строить профильную проекцию точки пересечения его с плоскостью, а затем уже горизонтальную.

Кривые поверхности с плоскостью в общем случае пересекаются по плоским кривым линиям.

В некоторых частных случаях линейчатые поверхности могут пересекаться плоскостями по образующим, т.е. по прямым линиям.

Построение кривых линий сечения нужно начинать с построения опорных точек. Если это эллипсы - то с построения осей эллипсов.

К числу опорных точек относятся экстремальные и точки видимости. Экстремальные точки - высшая, низшая, самая ближняя, самая дальняя и т.д.

Точки видимости - точки сечения, лежащие на очерковых образующих поверхностей, они разграничивают линию пересечения на видимую и невидимую части.

Во многих рассматриваемых ниже примерах линиями пересечения поверхности с плоскостью являются кривые второго порядка. В общем случае проекциями эллипса является эллипс, гиперболы - гипербола, параболы - парабола, окружности - эллипс или окружность. Эти линии могут быть построены по определенным параметрам известными графическими способами или определением необходимого количества точек линии из условия принадлежности их заданной поверхности.

Натуральную величину сечения строят способом замены плоскостей проекций или путем измерения расстояний вдоль и поперек сечения.

Изображение натуральной величины располагают в проекционной связи, если построение выполнено способом замены, если путем измерений - то либо в соответствии с положением секущей плоскости, либо в соответствии с главным видом.

Пересечение призмы с плоскостью

При построении линии пересечения призмы с плоскостью определяют точки пересечения ее ребер с данной плоскостью. Эту линию можно также построить, определяя линии пересечения отдельных граней призмы с плоскостью. В результате пересечения поверхности призмы плоскостью может быть получен прямоугольник (рис. 1, а), если эта плоскость параллельна боковым ребрам призмы, или различного вида многоугольники (рис. 1, б, в), если плоскость не параллельна им.

На рис. 2 показаны три проекции призмы, рассеченной фронтально проецирующей плоскостью а (а2). В сечении получен четырехугольник ABCD, фронтальная проекция A2B2C2D2 которого принадлежит а2. Точки А, В являются точками пересечения боковых ребер призмы с плоскостью а, а отрезок CD - линия пересечения верхнего основания призмы с этой плоскостью. Плоскость а считается прозрачной.

Натуральный вид сечения A5B5C5D5 построен способом замены плоскостей проекций, для чего введена новая плоскость проекций, параллельная плоскости а, и на эту плоскость ортогонально спроецированы точки A, B, C, D. Из проекций A2, B2, C2, D2 направлены линии связи, перпендикулярные к следу а2, и на свободном поле чертежа проведена линия A5D5, параллельная а2. Эта линия принята за базу отсчета размеров у на фигуре сечения потому, что прямая AD принадлежит фронтальной плоскости задней грани призмы, которую принимают за базовую. Точки В5 и С5 построены с помощью размеров ув и yC.

На рис. 3 дана пятиугольная призма с вырезом, выполненным двумя фронтально проецирующими плоскостями а (а2) и в (в2). Плоскость в является также профильной плоскостью. Фронтальная проекция линии выреза принадлежит фронтальным проекциям а2 и в2 этих плоскостей.

При полном пересечении призмы плоскостью а получается пятиугольник 1-2-3-4-5, в вырезе же будет только часть его 1-2-3-6-7, где отрезок 6-7 является линией пересечения плоскостей а и в. Этот отрезок определяет длину прямоугольника 6-7-8-9, получаемого в сечении призмы плоскостью в.

В аксонометрии точки линии выреза построены по их координатам (например, точка 2 по координатам x2, у2, z2).

Пересечение цилиндра с плоскостью

Прежде чем рассматривать построение проекций линии пересечения цилиндра с плоскостью, выясним, какая фигура может быть получена в результате этого пересечения. Фигура сечения зависит от угла наклона плоскости по отношению к образующим цилиндра. Если плоскость параллельна образующим (рис. 4, а), в сечении цилиндра получается прямоугольник, если перпендикулярна (рис. 4, б) - окружность, если плоскость наклонена к образующим, т.е. составляет с ними угол, отличный от 0 и 90°, в сечении цилиндра получается эллипс (рис. 4, в) или часть его (рис. 4, г).

На рис. 5 изображен цилиндр, рассеченный фронтально проецирующей плоскостью а (а2). Линией пересечения является эллипс. Большая ось эллипса - АВ=А2В2, малая ось CD=C1D1 - диаметр цилиндра. Натуральный вид сечения построен способом замены плоскостей проекций, его ось симметрии А5В5 (большая ось эллипса) параллельна следу а2. Эллипс может быть построен по его большой и малой осям или по отдельным точкам.

На рис. 6 даны три проекции цилиндра с вырезом, выполненным тремя плоскостями. Фронтально проецирующая плоскость а (а2) пересекает цилиндрическую поверхность по дуге эллипса, на которой намечены точки 1, 2, 3, 4. Профильная плоскость в (в2) пересекает цилиндрическую поверхность по прямым 4-5. Горизонтальная плоскость у (у2) пересекает цилиндрическую поверхность по окружности, на которой намечены точки 5, 6, 7. Фронтальная проекция 12...72 линии сечения плоскостями а, в, у принадлежит фронтальным проекциям а2, в2, у2 этих плоскостей, а горизонтальная проекция 11.71 этой линии принадлежит окружности. По этим двум проекциям точек линии выреза строят ее профильную проекцию. Полученные точки соединяют в последовательности определяемой фронтальной проекцией. Видимой в профильной проекции будет та часть линии выреза, которая принадлежит левой видимой половине цилиндра.

Принимая во внимание то, что в цилиндре выполнен вырез, в профильной проекции отсутствуют очерковые образующие между точками 33 и 63. Кроме того, в профильной проекции необходимо провести линии пересечения плоскостей а и в - прямую 43-43 и плоскостей в и у - прямую 53-53. Линия 63-63 представляет собой профильную проекцию всей плоскости у.

В аксонометрии точки линии сечения цилиндра плоскостью а построены по их координатам (например, точка 4 по координатам x4, z4). Для части окружности, получаемой в сечении цилиндра плоскостью у, построен эллипс, которому принадлежат точки 5, 6, 7.

Пересечение пирамиды плоскостью

Плоскость пересекает пирамиду по многоугольнику. Если плоскость параллельна основанию пирамиды, в сечении получается фигура, подобная основанию. При построении линии пересечения пирамиды с плоскостью определяют точки пересечения ее ребер с данной плоскостью или строят линии пересечения граней пирамиды с этой плоскостью.

На рис. 7 показано построение линии пересечения правильной шестиугольной пирамиды фронтально проецирующей плоскостью а (а2) и определение натурального вида этого сечения. По фронтальной проекции 12...62, которая принадлежит а2 построены горизонтальная 11_61 и профильная I3...63 проекции линии сечения. Так как сечение имеет фронтальную ось симметрии, при построении его натурального вида эта ось проведена параллельно а2. Для построения точек 15, ., 65 данного сечения использованы их размеры у.

Построение выреза в пирамиде показано на примере пятиугольной пирамиды (рис. 8), в которой выполнен вырез тремя плоскостями: горизонтальной а (а2), профильной в (р2) и фронтально проецирующей у (у2).

рис. 8

Фронтальная проекция линии выреза принадлежит фронтальным проекциям а2, р2, у2 данных плоскостей, на которых обозначены проекции 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 на ребрах пирамиды и проекции 12=62 82=122 на линиях пересечения плоскостей выреза.

По фронтальной проекции линии выреза построены горизонтальная 11.121 и профильная 13... 123 проекции этой линии из условия принадлежности отмеченных точек ребрам и граням пирамиды. Плоскость а пересекает поверхность пирамиды по фигуре, подобной основанию. В вырезе будет часть ее, ограниченная контуром 1-2-3-4-5-6-1, где отрезок 1-6 является линией пересечения плоскостей аир. Плоскости в и у пересекают поверхность пирамиды по пятиугольникам 1-6-7-8-12 и 8-9-10-11-12. Отрезок 8-12 является линией пересечения данных плоскостей.

В аксонометрии точки линии выреза строятся по трем координатам. Можно также использовать условие принадлежности точки некоторой линии поверхности пирамиды, построенной в аксонометрии. Так, для точки 4, принадлежащей ребру SA, предварительно построена с помощью координаты у4 вторичная проекция 40 на прямой ОА, являющейся вторичной проекцией ребра SA, а затем получена точка 4 на этом ребре.

Пересечение конуса с плоскостью - конические сечения

Линией пересечения боковой поверхности прямого кругового конуса с плоскостью могут быть две прямые - образующие конуса (рис. 9, а), если плоскость проходит через вершину конуса; окружность (рис. 9, б), если плоскость перпендикулярна к оси конуса; парабола (рис. 9, в), если плоскость параллельна одной образующей конуса; гипербола (рис. 9, г), если плоскость параллельна двум образующим конуса; эллипс (рис. 9, д, е), если плоскость пересекает все образующие конуса и не перпендикулярна к его оси.

На рис. 10 дана схема конических сечений, на которой ф - угол наклона образующей конуса к его оси, а δ - угол наклона плоскости к оси конуса (предполагается, что через точку К, принадлежащую поверхности конуса, проведен пучок фронтально проецирующих плоскостей). Как видно из схемы, величина этих углов определяет вид конического сечения: δ >φ - эллипс; δ = φ - парабола; δ < φ - гипербола; δ =90°- окружность.

На рис. 11 построены проекции конуса, рассеченного фронтально проецирующей плоскостью а (а2), которая пересекает его поверхность по эллипсу. У эллипса большая ось - АВ=А2В2, малая ось CD расположена на середине большой оси и равна отрезку C1D1. Проекции C1 b D1 построены с помощью параллели поверхности (окружности), радиус которой определяется точкой Т. Аналогично строятся все точки сечения.

Точки 1 данного сечения принадлежат профильным очерковым образующим конуса. Они отделяют видимую в профильной проекции часть 13- C3-A3D3-13 сечения от невидимой 13-В3-13.

Горизонтальная проекция эллипса сечения не может быть окружностью, профильная же проекция ею может быть. Эллипс A5-B5-C5-D5 является натуральным видом сечения. Он может быть построен по осям или с помощью размера у ряда точек.

При построении линии пересечения конуса с горизонтально проецирующей плоскостью a (ai) (рис. 12), которая пересекает его поверхность по гиперболе, используем параллели поверхности. В пересечении их горизонтальных проекций (окружностей) с проекцией ai плоскости намечаем горизонтальные проекции 11, ..., 71 точек линии сечения. На фронтальных проекциях этих параллелей строим фронтальные проекции 12,...,72 соответствующих точек. Верхняя точка 4 сечения - вершина гиперболы - принадлежит параллели, которая касается проекции a1. Проекции 33 и 52 принадлежат очерковым образующим конуса. Фигура 14...74 является натуральным видом сечения.

На рис. 13 показано построение конуса с вырезом, выполненным тремя фронтально проецирующими плоскостями. Плоскость а (а2), параллельная одной образующей конуса, пересекает его поверхность по параболе с вершиной в точке 1; плоскость в (в2), параллельная двум образующим конуса, пересекает поверхность по гиперболе с вершиной в точке А; плоскость у (у2), перпендикулярная к оси конуса, - по окружности.

Фронтальная проекция линии выреза принадлежит фронтальным проекциям а2, р2, у2 данных плоскостей, на которых намечены проекции 12,...,72 точек линии выреза. Горизонтальные проекции 11 ...,71 этих точек построены по фронтальным проекциям из условия их принадлежности конической поверхности, для чего использованы параллели поверхности. Затем построена профильная проекция линии выреза.

В аксонометрии точки линии выреза могут быть построены по их трем координатам (например, точка 3) или из условия принадлежности точек образующим конуса (например, точка 2).

Пересечение сферы с плоскостью.

Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, окружность сечения проецируется на эту плоскость проекций без искажения. Если же плоскость на параллельна ни одной из плоскостей проекций, проекциями окружности являются эллипсы. Большая ось этих эллипсов равна диаметру окружности сечения (большой осью эллипса является тот диаметр окружности сечения, который параллелен плоскости проекций). Величина малых осей эллипсов зависит от угла наклона секущей плоскости к плоскостям проекций.

На рис. 14 изображена сфера, рассеченная фронтально проецирующей плоскостью а (а2), эта плоскость пересекает сферу по окружности диаметра АВ=А2В2 с центром в точке О' (проекция О1" - точка пересечения а2 с перпендикуляром, опущенным из проекции О" центра сферы на плоскость а ). Горизонтальная и профильная проекции этой окружности представляют собой эллипсы, которые можно построить по их большой и малой осям: А1В1, C1D1 и А3В3, C3D3, где C1D1=C3D3=A2B2. Точки А, В линии сечения принадлежат главному фронтальному меридиану, точки 2 - экватору, точки 3 - главному профильному меридиану. Случайная точка линии сечения может быть построена с помощью параллели сферы (например, точка 4).

На рис. 15 изображена сфера, в которой выполнен вырез плоскостями а (а2) и в (р2). Горизонтальная плоскость а пересекает сферу по окружности, радиус которой определяется точкой 1. Фронтально проецирующая плоскость в пересекает сферу по окружности с центром в точке О'. Радиус этой окружности - отрезок О2'82, ему равны большие полуоси О1'51 и О3'53 эллипсов, в которые проецируется окружность на горизонтальную и профильную плоскости проекций. Эти эллипсы могут быть построены по их осям.

Случайную точку выреза можно построить с помощью параллели (например, точку 7). Последовательность соединения точек линии выреза в горизонтальной и профильной проекциях та же, что и во фронтальной проекции. Часть сферы, расположенная между плоскостями а и в, удалена.

В аксонометрии точки 1, 2, 3 принадлежат эллипсу той окружности, которая получается в сечении сферы плоскостью а. Точки линии пересечения сферы плоскостью в можно построить по их трем координатам. Построение несколько упрощается, если использовать среднюю линию 308 сечения (точка 8 построена по координатам у8=0, x8, z8). На этой линии намечены точки 40, 01 60, 70 с помощью их координаты z (например, точка 70), а затем использованы координаты у (например, точка 7).

Эллипс линии пересечения можно построить также по его сопряженным диаметрам 8-8', 5-5.

Пересечение тора с плоскостью

В пересечении тора с плоскостью могут быть получены различного вида кривые линии. Если плоскость проходит через ось вращения тора, в сечении получаются две окружности - образующие, если плоскость перпендикулярна к оси вращения, в сечении получаются две окружности - параллели. Все другие плоскости пересекают его поверхность по кривым, которые называются кривыми Персея.

На рис. 16 изображены кривые Персея, полученные в пересечении тора плоскостями а (рис. 16, а), в (рис. 16, б), у (рис. 16, в), б (рис. 16, г), £ (рис. 16, д). При построении линии пересечения тора с плоскостью на его поверхности проводят семейство параллелей (окружностей), на которых намечают точки, принадлежащие плоскости. Так, на рис. 16, а построена линия пересечения тора с горизонтальной плоскостью а (а2) (точки 1, 2, 3 обозначены на одной половине кривой).

На рис. 17 показано построение выреза, выполненного двумя фронтально проецирующими плоскостями а (а2) и в (в2) на половине тора. Фронтальная проекция линии выреза принадлежит фронтальным проекциям а2 и р2 плоскостей, на которых намечены проекции 1,..., 9 точек. Горизонтальная и профильная проекции точек линии выреза построены с помощью параллелей этих точек (например, точки 2, 8). В горизонтальной проекции тора между точками 3 и 7 отсутствует очерковая параллель. Натуральный вид сечения тора плоскостью в - фигура 65-75-85-95-85-75-65.

В аксонометрии точка на поверхности тора может быть построена по трем ее координатам (например, точка 6). При построении плоского сечения можно использовать среднюю линию этого сечения (прямые 1-60-9).