Определение натуральной величины треугольника
Натуральная величина треугольника на эпюре Монжа может быть определена:
- способом прямоугольного треугольника;
Натуральная величина треугольника
Здесь поочередно применяется способ прямоугольного треугольника для определения действительных величин отрезков, составляющих треугольник, а затем, к одному из них методом засечек строятся два других.
Способ прямоугольного треугольника
Способ прямоугольного треугольника является одним из тех методов в котором находится действительная величина отрезка или расстояние между двумя точками прямой по двум проекциям. В отличие от отрезков прямых частного положения, проецирующихся хотя бы на одну из плоскостей проекций в натуральную величину, отрезок прямой общего положения на плоскости проекций проецируется с искажением. Для того чтобы найти его натуральную величину, необходимо провести ряд преобразований.
Возьмем прямую общего положения АВ и спроецируем ее на горизонтальную плоскость проекций . Через точку А проведем линию, параллельную плоскости . Таким образом в пространстве получим прямоугольный треугольник , один из катетов которого (AB1) равен длине проекции отрезка, а угол между отрезком и этим катетом является углом наклона заданного отрезка к плоскости проекций.
Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона ее к плоскости проекций на КЧ необходимо построить прямоугольный треугольник:
- первый катет этого треугольника равен проекции отрезка на плоскости проекций (обычно прямоугольный треугольник пристраивают к проекции отрезка, однако в некоторых задачах целесообразно прямоугольный треугольник строить в стороне от проекций геометрических объектов);
- из проекции любого конца отрезка под прямым углом к проекции отрезка проводится луч, на котором откладывается длина второго катета, равная разности расстояний от концов отрезка до данной плоскости проекций;
- гипотенуза полученного таким образом прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка.
Ортогональная проекция отрезка общего положения всегда будет меньше его действительной величины.
Для графического определения на эпюре Монжа действительной величины отрезка или расстояния между двумя точками прямой может быть использован способ прямоугольного треугольника.
Где выполняется построение прямоугольного треугольника:
- за один его катет принимается горизонтальная (фронтальная, профильная) проекция отрезка;
- а за другой катет - разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или соответственно фронтальной, профильной) плоскости проекции;
- гипотенуза, полученного таким образом, прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка или расстояния между двумя точками прямой.
Графическое определение действительной величины отрезка [AB] или расстояния между двумя точками прямой A и B путем построения прямоугольных треугольников ΔA`B`B0 или ΔA"B"A0.
Используя способ прямоугольного треугольника, можно также решать задачу по построению на эпюре:
- проекции отрезка, наперед заданной величины;
- проекции расстояния между двумя точками прямой, наперед заданной величины.
Даны проекции равностороннего треугольника ABC(A`B`C`,A"B"... ) .
Построить недостающие проекции треугольника.
Построение равностороннего треугольника выполняется с использованием способа прямоугольного треугольника
Метод преобразования
Метод преобразования представляет собой переход от общего положения геометрической фигуры к частному, который можно осуществить за счет изменения взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекции двумя путями:
во-первых, перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве.
во-вторых, перемещением плоскостей проекций в новое положение, по отношению к которому проецируемая фигура (которая не меняет своего положения в пространстве) окажется в частном положении.
Первый путь лежит в основе метода плоскопараллельного перемещения; второй составляет теоретическую базу метода перемены плоскостей проекций.
В начертательной геометрии задачи решаются графически. Количество и характер геометрических построений при этом определяются не только сложностью задачи, но и в значительной степени зависят от того с какими проекциями (удобными, неудобными) приходится иметь дело. Задачи решаются значительно проще в случае если используется метод преобразования общего положения геометрической фигуры относительно плоскости проекции к частному.
Из приведенных ниже примеров проецирования прямоугольного треугольника видно, что вид проекции (ее форма и размеры) определяются не только формой и размерами проецируемой фигуры, но и в значительной степени зависит от взаимного расположения объекта проецирования и плоскости проекций.
Действительно, три конгруентных прямоугольных треугольника ΔABC≅ΔA1B1C1≅ΔA2B2C2 (рисунок) в зависимости от взаимного расположения плоскости треугольника и плоскости проекции V могут проецироваться на эту плоскость:
а) в виде ΔA"B"C" = ΔABC, если плоскость треугольника занимает произвольное положение относительно плоскости V.
ΔA"B"C" в метрическом отношении не имеет ничего общего с оригиналом - ΔABC (рисунок слева);
б) в виде отрезка прямой [C"1B"1], в случае, когда плоскость ΔA1B1C1⊥V (рисунок в центре);
в) либо в виде ΔA"2B"2C"2 ≅ ΔA2B2C2, когда плоскость ΔA2B2C2 ║ V (рисунок справа)
Сопоставляя между собой оригинал и его ортогональную проекцию, мы видим, что только в случае параллельности проецируемой фигуры плоскости проекции возможно получить проекцию на эту плоскость, конгруентную самой фигуре, и, следовательно, полностью сохраняющую ее метрику. Форма и размеры фронтальной проекции ΔA"2B"2C"2 (рисунок справа) позволяют без каких либо построений ответить на вопросы: какова длина сторон треугольника, величина углов при вершинах, чему равна его площадь и другие метрические характеристики ΔA2B2C2.
На рисунке показаны плоскость α, заданная двумя параллельными прямыми a и b, и пересекающая ее прямая m.
На рисунке (слева) плоскость α общего положения. На рисунке справа плоскость α занимает проецирующее положение по отношению к горизонтальной плоскости проекции. Для определения точки K, в которой прямая m пересекает плоскость α, в случае показанном на рисунке слева необходимо выполнить дополнительные геометрические построения. В то же время, определение точки K на рисунке справа может быть выполнено непосредственно на чертеже (эпюре) без каких-либо дополнительных построений.
Наиболее выгодным частным положением проецируемой фигуры следует считать:
а) положение перпендикулярное к плоскости проекции (для решения позиционных, а в ряде случаев, и метрических задач);
б) положение, параллельное по отношению к плоскости проекции (при решении метрических задач).